Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），线段AB=6，，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）若点D为线段BM上任一点（点D不与点B重合，可与点M重合），过点D作垂直于x轴的直线x=t，交抛物线于点E，交线段BC于点F．
①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？
②是否存在这样的点D，使得？若存在，求出D点的坐标；若不存在，则请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），AB=6，
∴OB=5，
∴B的坐标为（5，0），
∵sin∠ABC=，
∴∠ABC=45°，
∴CO=BO=5，
∴C的坐标是（0，5），
把A、B、C代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5；

（2）
∵M为顶点，
∴x=-=2，
∴y=9，
∴M的坐标为（2，9），
∴S_△BCM=S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC=（5+9）×2×+（5-2）×9×-5×5×=15；

（3）①设BM的解析式为：y=kx+b（k≠0），
将点B、点M的坐标代入可得：，
解得：，
∴y=-3x+15，
∵EF⊥AB，
∴x_E=x_D=t，
∴ED=-t²+4t+5-（-3t+15）=-t²+7t-10，
∴t=-=3.5，
∴ED_最大=；
②设BC的解析式为：y=mx+n（m≠0），
将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
∴y=-x+5，
∴ED=-t²+7t-10，FD=-2t+10，
当=时，2（-t²+7t-10）=-2t+10，
解得：t₁=3，t₂=5（与B重合舍去），
∴D的坐标为（3，6）．
分析：（1）求出OB的长度，得出点B的坐标，再由sin∠ABC=，得出∠ABC=45°，CO=BO=5，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，根据S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC，即可得出△MCB的面积；
（3）①求出直线BM的解析式，点E的纵坐标减去点D的纵坐标，可得出DE关于t的表达式，求出最值即可；
②求出直线BC的解析式，表示出FD的长度，再由，可得关于t的方程，解出即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及配方法求二次函数的最值，同学们需要培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．