Question

11．如图，正五边形ABCDE中．连接AC，AD，CE，CE交AD于点F，连接BF．下列说怯正确的是①③④（将所有正确说法的序号填写在横线上）．①△ACD的周长大于4CD；②FC平分∠BFD：③四边形ABCF是菱形；④CD²=EF•CE．

Answer 1

分析 由四边形ABCF是菱形，易得∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，由正五边形的性质得∠ABC=108°，∠CFB=∠CBF=∠AFB=54°，∠CFD=72°，可得∠BFC≠∠CFD，证得结论；首先根据是正五边形的性质得到AB=BC=CD=DE=AE，AB∥CE，BC∥AD，AB=BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证；根据正五边形的性质和等腰三角形的性质∠BAC=∠BCA=∠AED=∠EDA=∠DCE=∠CED=36°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCF是菱形，
∴∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，
∵正五边形ABCDE∠ABC=108°，∠CFB=∠CBF=∠AFB=54°，
∴∠CFD=72°，
∴∠BFC≠∠CFD，
故②错误；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，AB∥CE，BC∥AD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCF是菱形，
故③正确；
由正五边形的性质可得AC=AD，AB=CD，CD=DE，∠FED=∠FDE，
∴EF=FD，
∵四边形ABCF是菱形，
∴AB=BC=CF=FA，
∴AF=CD，
∴△ACD的周长=2AD+CD=3CD+2FD，
∵2FD=FD+EF＞DE，
∴2FD＞CD，
∴△ACD的周长=2AD+CD=3CD+2FD＞4CD，
故①正确；
∵正五边形ABCDE中，∠BAE=∠BCD=∠EDC=108°，AB=BC=CD=AE=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠AED=∠EDA=∠DCE=∠CED=36°，
∴△ECD∽△DEF，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{CE}{DE}$，
∴DE²=EF•CE，
∵CD=DE，
∴CD²=EF•CE．故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正五边形的性质，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．