Question

【题目】如图1，点A，B分别是二次函数y=2x2的图象上的两个点，A、B的横坐标分别为a，b（a＜0，b＞0），点P（0，t）是抛物线对称轴上的任意一点．

（1）当a+b=0时，探究是否存在t，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，请直接写出t、a、b的其中一组值；若不存在，请说明理由；
（2）当a+b≠0时，探究是否存在t，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，请写出t的取值范围，并用含t的代数式表示a2+b2的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2作边长为4的正方形ACDE（A、C、D、E按逆时针排列），使得AC∥x轴，若边CD与二次函数的图象总有交点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当 a+b=0时，

∴PA=PB∴只需满足t≠2a2即可

∴a=﹣1，b=1，t=3

（2）

解：∵A（a，2a2），B（b，2b2），P（0，t）

∵PA=PB，

∴a2+（t﹣2a2）2=b2+（t﹣2b2）2

∴a2﹣b2+（t﹣2a2）2﹣（t﹣2b2）2=0，

（a2﹣b2）[1﹣4（t﹣a2﹣b2）]=0，

∵a2﹣b2≠0

∴1﹣4（t﹣a2﹣b2）=0

∴a2+b2=t﹣ ，

∴t﹣ ＞0，

∴t＞

（3）

解：A（a，2a2），

∴C（a+4，2a2） D（a+4，2a2+4），

设边CD与二次函数图象交点为F（a+4，2（a+4）2）

由题意可得：

∴

∴

【解析】（1）利用等腰三角形的性质即可；（2）表示出点的坐标，利用PA=PB建立方程求解即可；（3）联立方程组求解函数图象的交点坐标．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．