Question

如图，在直角坐标系中，直线y=-x+5与x轴交于B点，与y轴交于C点，直线AC经过点D（-2，3）并交x轴于点A．
（1）试求直线AC的函数关系式；
（2）过点A作BC的垂线交y轴于点E，求证：△AOE≌△COB；
（3）在x轴上是否存在一点P，使P点到D、E两点的距离之和最小？若存在，请画出图形并求此时P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+5与y轴交于C点，
∴C点坐标为（0，5）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵C、D两点在直线AC上，
∴，
解得．
∴直线AC的函数关系式为y=x+5；

（2）∵直线AC交x轴于点A，
∴A点坐标为（-5，0），
∴OA=OC．
在△AOE与△COB中，
∵∠AOE=∠COB=90°，∠OAE=∠OCB=90°-∠B，OA=OC，
∴△AOE≌△COB；

（3）∵△AOE≌△COB，
∴OE=OB=2，
∴E点坐标为（0，2）．
作出E点关于x轴的对称点F，则F（0，-2）．
连接DF交x轴于点P，则P点到D、E两点的距离之和最小，此时PD+PE=PD+PF=DF．
设直线DF的解析式为y=mx+n，
把D（-2，3），F（0，-2）代入y=mx+n，得，
解得．
∴直线DF的解析式为y=-x-2．
令y=0，得x=-．
∴P点坐标为（-，0）．
分析：（1）先由直线y=-x+5与y轴交于C点，求出C点坐标，再根据C、D两点在直线AC上，运用待定系数法即可求出直线AC的函数关系式；
（2）先求出A点坐标，得出OA=OC，再运用AAS证明即可；
（3）先求出E点坐标，再作出E点关于x轴的对称点F，连接DF交x轴于点P，则P点到D、E两点的距离之和最小．运用待定系数法求出直线DF的解析式，从而求出P点坐标．
点评：本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，轴对称-最短路线问题，综合性较强，难度中等．