Question

10．先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-x}$$÷（2+\frac{{x}^{2}+1}{x}）$，其中x=2sin45°-1．

Answer 1

分析 先把分子、分母进行因式分解，再通分，然后把除法转化成乘法，再进行约分，最后把求出x的值代入原式，进行计算即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-x}$$÷（2+\frac{{x}^{2}+1}{x}）$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x（x-1）}$÷（$\frac{2x}{x}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$）=$\frac{x+1}{x}$÷$\frac{（x+1）^{2}}{x}$=$\frac{x+1}{x}$×$\frac{x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$，
∵x=2sin45°-1=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\sqrt{2}$-1，
∴原式=$\frac{1}{\sqrt{2}-1+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值，关键是把分式化到最简，然后代值计算．