Question

已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）四边形ABCD是轴对称图形吗？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件发现△ABD≌△BAC（SAS），运用全等三角形的性质求得AC=BD，∠OAB=∠OBA．再根据等角对等边证明OA=OB，从而证明OC=OD．再根据等边对等角，有目的证明一对内错角相等即可证明AB∥CD；
（2）由（1）的证明，明确了该三角形是等腰梯形，故又称两腰即可得到一个等腰三角形，再根据等腰三角形的性质进行证明即可．

解答：解：（1）AB∥CD．理由如下：
在△ABD和△BAC中

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=BA

．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．
∴OA=OB．
∴AC-OA=BD-OB．
∴OD=OC．
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠ODC+∠COD=180°．
2∠OBA+∠AOB=180°．
又∠COD=∠AOB，
∴∠CDO=∠OBA．
∴AB∥CD．

（2）四边形ABCD是轴对称图形．理由如下：
延长AD、BC交于点P，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
又OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB，
∴点A与点B关于直线OP对称①．
∵AB∥DC，
∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．
∴∠PDC=∠PCD．
∴DP=CP，∴点P在DC的垂直平分线上．
又OD=OC，∴点O在DC的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段DC．
∴点C与点D关于直线OP对称②．
所以，综上①②所述，四边形ABCD是轴对称图形．

点评：熟练运用全等三角形的性质及其判定，掌握证明轴对称图形的思路．