Question

10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）如图2，已知抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$经过点C．
①求抛物线的解析式；
②若在抛物线上存在点M，使得以M为圆心，以$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$为半径的圆恰好与直线BC相切，请求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥x轴于H，如图1，先利用旋转性质得AB=AC，∠BAC=90°，然后证明△ABO≌△CAH得到CH=OA=1，AH=OB=2，则可得到C点坐标；
（2）①把C点坐标代入$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$中求出b即可得到抛物线解析式；
②先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-2，设直线BC与x轴的交于点G，如图2，则G（6，0），利用勾股定理计算出BG=2$\sqrt{10}$，再作出与BC平行且到BC的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$的两直线KM或K′M′，接着利用相似比求出BK和BK′，利用直线平行的问题得到KM和K′M′的解析式，然后分别与抛物线的解析式组成方程组，再解方程组即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）作CH⊥x轴于H，如图1，
∵A（1，0）、B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
∵线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∵∠BAO+∠CAH=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
在△ABO和△CAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CHA}\\{∠ABO=∠CAH}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAH，
∴CH=OA=1，AH=OB=2，
∴C（3，-1）；
（2）①抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+2$经过点C（3，-1），
∴-$\frac{1}{2}$×9+3b+2=-1，解得b=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
②设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（0，-2），C（3，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-2，
设直线BC与x轴的交于点G，如图2，
当y=0时，$\frac{1}{3}$x-2=0，解得x=6，则G（6，0），
∴BG=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在y轴上取一点K，作KS⊥BC于S，KM∥BC交抛物线于M，使KS=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，如图2，
∵∠BOG=∠BSK=90°，∠OBG=∠SBK，
∴△BOG∽△BSK，
∴KB：BG=KS：OG，即KB：2$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$：6，解得KB=$\frac{5}{3}$，
把直线BC向上平移$\frac{5}{3}$个单位得到直线KM，则直线KM的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，此时M点的坐标为（-2，-1）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{9}$）；
把直线BC向下平移$\frac{5}{3}$个单位得到直线K′M′，则直线K′M′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{11}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{409}}{6}}\\{y=\frac{-65+\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{409}}{6}}\\{y=\frac{-65-\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$，此时M′点的坐标为（$\frac{1+\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65+\sqrt{409}}{18}$）或（$\frac{1-\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65-\sqrt{409}}{18}$），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（-2，-1）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{9}$）或（$\frac{1+\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65+\sqrt{409}}{18}$）或（$\frac{1-\sqrt{409}}{6}$，$\frac{-65-\sqrt{409}}{18}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、切线的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式，掌握直线平移的规律；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，利用相似比计算线段的长；能通过解方程组求抛物线与一次函数的交点坐标．