如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数,m>1,n>0.
(1)请你确定n的值和点B的坐标;
(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点,且在双曲线y=上时,求这时四边形OABC的面积.
解:(1)从图中可知,当P从O向A运动时,△POC的面积S=mz,z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2 (1分) 同理,AB=1,故点B的坐标是(1,2) (2分) (2)解法一: ∵抛物线y=ax+bx+c经过点O(0,0),C(m,0),∴c=0,b=-am,(3分) ∴抛物线为y=ax-amx,顶点坐标为(,-am2) (4分) 如图1,设经过点O,C,P的抛物线为l 当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上, ∴这时抛物线l不存在,故不存在m的值 ① 当点P与C重合时,双曲线y=不可能经过P, 故也不存在m的值 ② (5分) (说明:①②任做对一处评1分,两处全对也只评一分) 当P在AB上运动时,即当0<x≤1时,y=2, 抛物线l的顶点为P(,2). ∵P在双曲线y=上,可得m=,∵>2,与x=≤1不合,舍去.(6分) ③ 容易求得直线BC的解析式是:,(7分) 当P在BC上运动,设P的坐标为(x,y),当P是顶点时x=, 故得y==,顶点P为(,), ∵1<x=<m,∴m>2,又∵P在双曲线y=上, 于是,×=,化简后得5m-22m+22=0, 解得,,(8分)
与题意2<x=<m不合,舍去.④ (9分) 故由①②③④,满足条件的只有一个值:. 这时四边形OABC的面积== (10分) (2)解法二: ∵抛物线y=ax+bx+c经过点O(0,0),C(m,0) ∴c=0,b=-am,(3分) ∴抛物线为y=ax-amx,顶点坐标P为(,-am2) (4分) ∵m>1,∴>0,且≠m, ∴P不在边OA上且不与C重合 (5分) ∵P在双曲线y=上,∴×(-am2)=即a=- ①当1<m≤2时,<≤1,如图2,分别过B,P作x轴的垂线, M,N为垂足,此时点P在线段AB上,且纵坐标为2, ∴-am2=2,即a=- 而a=-,∴-=-,m=>2,而1<m≤2,不合题意,舍去 (6分) ②当m≥2时,>1,如图3,分别过B,P作x轴的垂线,M,N为垂足,ON>OM, 此时点P在线段CB上,易证Rt△BMC∽Rt△PNC, ∴BM∶PN=MC∶NC,即:2∶PN=(m-1)∶,∴PN= (7分) 而P的纵坐标为-am2,∴=-am2,即a= 而a=-,∴-= 化简得:5m2-22m+22=0解得:m=,(8分) 但m≥2,所以m=舍去,(9分) 取m= 由以上,这时四边形OABC的面积为: (AB+OC)×OA=(1+m)×2= (10分) |
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