Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．

（1）求证：∠BAF＝∠CAF；

（2）若AC＝3，BC＝4，求BD和CE的长；

（3）在（2）的条件下，若AF与DE交于H，求FHFA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），；（3）

【解析】

（1）连结OF，如图，根据切线的性质得OF⊥BC，则易得OF∥AC，所以∠OFA＝∠CAF，加上∠OAF＝∠OFA，则∠BAF＝∠CAF；

（2）设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB＝10，再证明△BOF∽△BAC，利用相似比计算出r＝ ，则BD＝BA﹣AD＝ ；接着根据圆周角定理由AD为⊙O的直径得到∠AED＝90°，易得DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可计算出CE＝ ；

（3）根据平行线分线段成比例定理和勾股定理，分别求出AF，HF的长，最后计算FHFA的值．

证明：（1）连结OF，如图，

∵⊙O与BC相切于点F，

∴OF⊥BC，

∵∠ACB＝90°，

∴OF∥AC，

∴∠OFA＝∠CAF，

而OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠BAF＝∠CAF；

（2）解：设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，

在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝ ＝ ＝5，

∵OF∥AC，

∴△BOF∽△BAC，

∴

∴

∴r＝

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣2× ＝，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

而∠C＝90°，

∴DE∥BC，

∴，

∴

∴CE＝，

（3）∵OF∥AC，

∴，

∴

∴CF＝，

∴AF＝

∵DE∥BC，

∴，

∴

∴FH＝

∴FHFA＝＝