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如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c与y轴交于点D(0,3).
(1)直接写出c的值;
(2)若抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右边),顶点为C点,求直线BC的解析式;
(3)已知点P是直线BC上一个动点,
①当点P在线段BC上运动时(点P不与B、C重合),过点P作PE⊥y轴,垂足为E,连接BE.设点P的坐标为(x,y),△PBE的面积为s,求s与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出s的最大值;
②试探索:在直线BC上是否存在着点P,使得以点P为圆心,半径为r的⊙P,既与抛物线的对称轴相切,又与以点C为圆心,半径为1的⊙C相切?如果存在,试求r的值,并直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)将D(0,3),直接代入解析式求出即可;
(2)分别求出顶点C坐标为(1,4)以及令y=0得x1=-1,x2=3得出B(3,0),代入一次函数解析式即可得出直线BC的解析式;
(3)根据PE•OE=,求出s最大值即可,再根据当⊙P与⊙C外切时,以及当⊙P与⊙C内切时,分别得出P点的坐标.
解答:解:(1)c=3.

(2)由(1)知抛物线为:y=-x2+2x+3,配方得y=-(x-1)2+4
∴顶点C坐标为(1,4)
令y=0得x1=-1,x2=3,
∴B(3,0)
设直线BC解析式为:y=kx+b(k≠0),把B、C两点坐标代入,

解得:k=-2,b=6,
∴直线BC解析式为:y=-2x+6,

(3)①∵点P(x,y)在y=-2x+6的图象上,
∴PE=x,OE=-2x+6
PE•OE=
∴s=-x2+3x  (1<x<3),
s=-(x2-3x+)+=-(x-2+
符合1<x<3,
∴当时,s取得最大值,最大值为
②答:存在.
如图,设抛物线的对称轴交x轴于点F,则CF=4,BF=2.
过P作PQ⊥CF于Q,则Rt△CPQ∽Rt△CBF

∴CQ=2r,
当⊙P与⊙C外切时,CP=r+1.
∵CQ2+PQ2=CP2
∴(2r)2+r2=(r+1)2
解得舍去).
此时
当⊙P与⊙C内切时,CP=r-1.
∵CQ2+PQ2=CP2
∴(2r)2+r2=(r-1)2
解得舍去).
此时
∴当⊙P与⊙C相切时.
点P的坐标为
(点P的坐标只写1个不得分,写出2个或3个得(1分),写出4个得2分)
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及直线解析式的求法,根据圆与圆的相切时分类讨论,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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6
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3
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6
x
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6
6

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