Question

4．（1）如图1，点P是?ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；
（2）如图2，若点P在?ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时，$\frac{CP}{PM}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$（请直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）过C作CG⊥BE于G，延长BC交AF于Q，得到四边形CGEF是矩形，由矩形的性质得到EG=CF，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，推出△ADH≌△BCG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，由（1）知BE=DH+CF，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）过B作BE⊥AP于E，连接AC，推出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到∠DCA=∠CAB=45°，通过全等三角形得到AM=BN，∠AMD=∠BNC，推出A，C，P，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DPA=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到∠CPN=∠DPM=45°，证得△BPE是等腰直角三角形，得到PB=PA=$\sqrt{2}$BE，根据三角形的面积列方程得到BE=3$\sqrt{2\sqrt{2}}$，根据三角函数的定义得到$\frac{PM}{PC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}}{6\sqrt{\sqrt{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，即可得到结论．

解答 解：（1）过C作CG⊥BE于G，延长BC交AF于Q，
∵CF⊥AC，BE⊥AC，
∴四边形CGEF是矩形，
∴EG=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠Q，
∵CG∥AF，
∴∠G=∠BCG，
∴∠DAH=∠BCG，
在△ADH与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠BGC}\\{∠DAH=∠BCG}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BCG，
∴DH=BG，
∴BE=BG+EG=DH+CF；

（2）分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，
由（1）知BE=DH+CF，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•DH，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AP•BE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AP•CF，
∴S_△ADP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AP（DH+CF）=$\frac{1}{2}$AP•BE=S_△ABP，
∵△APB的面积为18，△APD的面积为3，
∴S_△APC=15；

（3）过B作BE⊥AP于E，连接AC，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠CAB=45°，
在△ADM与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{DM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCN，
∴AM=BN，∠AMD=∠BNC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴AP=BP，
∵∠ADC=∠APC=90°，
∴A，C，P，D四点共圆，
∴∠DPA=∠ACD=45°，
在△PDM与△PCN中，$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{∠PMD=∠PNC}\\{DM=CN}\end{array}\right.$，
∴△PDM≌△PCN，
∴∠CPN=∠DPM=45°，
∴∠APB=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PB=PA=$\sqrt{2}$BE，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AP•BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$BE•BE=18，
∴BE=3$\sqrt{2\sqrt{2}}$，
∴AP=6$\sqrt{\sqrt{2}}$，
∵AP•PC=30，
∴PC=$\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}$，
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC，
∴tan∠PCM=tan∠PAC=$\frac{PM}{PC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}}{6\sqrt{\sqrt{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，
∴$\frac{PC}{PM}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．