Question

如图①，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为-1．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；
（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x+3，
当x=0时，y=3，
∴B（0，3），
把x=-1代入y=-x+3得：y=4，
∴D（-1，4），
当y=0时，0=-x+3，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线过A（3，0），O（0，0），
把D（-1，4）代入y=ax²+bx+c=a（x-0）（x-3）得：4=a（-1-0）（-1-3），
∴a=1，
∴y=（x-0）（x-3），
即抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）设H（x，0），
则P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），
∴PH=-x+3，QH=3x-x²，
∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，
∴

PH

QH

=

1

2

或

PH

QH

=2，
即

-x+3

3x-x2

=

1

2

或

-x+3

3x-x2

=2，
解得：x₁=2，x₂=3（舍去），x₃=3（舍去），x₄=

1

2

，
∴H点的坐标是（2，0）或（

1

2

，0）．

（3）分为三种情况：
①若∠BAC=90°，设C（x，x²-3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴tan∠OAC=1，
∴

x2-3x

3-x

=1，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴C（1，-2）；
②若∠ABC=90°时，
∵∠OBA=45°，
∴∠OBC=45°，
设直线BC交于x轴于E，其解析式是y=kx+3，
∴OE=OB=3，
∴E（-3，0），
代入得：0=-3k+3，
∴k=1，
∴y=x+3，
解方程组

y=x+3 y=x2-3x

得：

x1=2+ 7 y1=5+ 7

，

x2=2- 7 y2=5- 7

，
∴C（2+

7

，5-

7

）或（2-

7

，5-

7

）；
③若∠ACB=90°时，设C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，
n²-3n+k²-3k=0，
∵k=n²-3n，
代入求出k₁=0，k₂=2，
∴n²-3n=0，n²-3n=2，
解得：n₁=0，n₂=3（舍去），n₃=

3+ 17

2

，n₄=

3- 17

2

，
∴C（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2），
综合上述：存在，点C的坐标是（1，-2）或（2+

7

，5+

7

）或（2-

7

，5-

7

）或（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．