Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t＝ 秒时，动点M、N相遇；

（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=；（3）在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4．

【解析】

试题分析：（1）由∠ACB＝900，AC=6，BC=8，得到AB=10，当M、N相遇时，AM+BN=AB=10，即，解得；

（2）由于N比M运动的速度快，故P先在BC上运动，然后在CA上运动．先算出当P与C重合时，所用的时间，由于相遇的时间，停止的时间，故分三种情况讨论，

①当时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近；②当时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C；③当时，M在N的右边，在AC上逐渐远离C．由于S==MNPG，MN=10－4t，只需要表示出三种情况中的PG即可，用三角函数计算比较简单；

（3）分两种情况讨论，①当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，当t=0是，M与A重合，N与B重合，如图5，此时三角形最大；②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，可以得到=，而，故当时，的最小值=，当时，的最大值=．综合①②可得到结论．

试题解析：（1）∵∠ACB＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，当M、N相遇时，有，∴；

（2）∵N比M运动的速度快，∴P先在BC上运动，然后在CA上运动．当P与C重合时，∵=ACBC=ABGC，∴GC=6×8÷10=4.8，∴AG==3.6，∴BG=10－3.6=6.4，∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=MN==，∴，∴．

①当时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，

∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=MN==，∴GB=GN+NB==，∵tanB=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

②当时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，

由①可知，GN=MG=，AM=t，∴AG=MG+AM=，tanA=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

③当时，M在N的右边，在AC上逐渐远离C，如图3．

MN=NB+AM－AB==，GN=MG=，AM=t，∴AG= AM－MG ==，tanA=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

∴S=；

（3）①当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，过M作MF⊥AC于F，则MF∥BC，∴，，∴，∴MF=1.12，∴==ACMF==，当t=0是，M与A重合，N与B重合，此时三角形最大，如图5，此时BG=AG=5，cosB=，∴，∴PB=，∴PC=BC－PB=8－=，∴=ACPC==，∵K是AP 的中点，∴==，∴当P在BC上运动时，△KAC面积的最小值为，最大值为；

②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，∴EK∥FM，∵K为PM的中点，∴EK=FM，∵FM⊥AC，CB⊥AC，∴FM∥CB，∴，∴，∴FM=，∴EK=FM=，∴=ACEK==，∵，∴当时，的最小值=，当时，的最大值=．∴当P在CA上运动时，△KAC面积的最小值为，最大值为4．

综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4．