Question

（2012•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果△ADC和△BDC的周长之比是1：3，则cot∠BCD=

1

3

．

Answer 1

分析：根据直角三角形的直角的关系可以推出∠BCD=∠A，然后根据锐角三角函数的定义用BD表示CD，用BC表示AC，用CD表示AD，然后根据△ADC和△BDC的周长的比列式即可求解．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴CD=BD•cot∠BCD，
AC=BC•cot∠A，
AD=CD•cot∠A，
∴△ADC和△BDC的周长的比为

CD+AD+AC

BD+BC+CD

=

BD•cot∠BCD+CD•cot∠A+BC•cot∠A

BD+BC+CD

=cot∠BCD，
∵△ADC和△BDC的周长之比是1：3，
∴cot∠BCD=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，用三角函数表示出边的关系是解题的关键．