Question

14．计算：（1-x）（1+x）=1-x²．
（1-x）（1+x+x²）=1-x³．
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：
（1-x）（1+x+x²+x³+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）根据你的猜想进行下列运算：
（a）（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴）=-31；
（b）（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+…+x²+x+1）=-1+x¹⁰⁰；
（3）计算：2+2²+2³+…+2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式猜想即可得到结果；
（2）原式各项利用得出的结论计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的结论计算即可得到结果．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+x³+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）（a）（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴）=1-2⁵=1-32=-31；
（b）（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+…+x²+x+1）=-（1-x）（x⁹⁹+x⁹⁸+…+x²+x+1）=-1+x¹⁰⁰；
（3）∵（1-2）（1+2+2²+2³+…+2ⁿ）=1-2ⁿ⁺¹，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
故答案为：（1）1-xⁿ⁺¹；（2）（a）-31；（b）-1+x¹⁰⁰

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．