分析 (1)利用三角函数求出线段CD,延长AD交EF于点H,利用三角函数即可求出线段DH长度,再除以运动速度即为运动时间;
(2)根据勾股定理求出AB=2$\sqrt{3}$,AC=4$\sqrt{3}$,即FG=2$\sqrt{3}$,EG=4$\sqrt{3}$,再根据运动时间分五种情况进行讨论:①当 0<t≤2时;②当2<t≤2$\sqrt{3}$时;③当2$\sqrt{3}$<t≤6时;④当6<t≤8时;⑤当8<t<$6+2\sqrt{3}$时;根据三角形的面积和长方形的面积求出重合面积,写出S关于t的函数关系式即可;
(3)通过分析△C1PQ为等腰三角形,分析等腰情况,分别求出对应角度即可.
解答 解:(1)∵AD=BC=6,∠ACB=30°,
∴AB=DF=6×tan30°=2$\sqrt{3}$,
延长AD交EF于点H,如下图:
∵△ACD绕点C顺时针旋转得到△EFG,
∴∠DFH=30°,
∴DH=DF×tan30°=2,
∵△EFG以每秒1个单位长度的速度沿直线CB向左平移,2÷1=2秒,
∴当t=2时,点D落在线段EF上;
(2)∵矩形ABCD中,AD=6,∠ACB=30°,
∴设AB=x,则AC=2x,
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2
即x2+62=(2x)2
解得:x=2$\sqrt{3}$,
∴AB=2$\sqrt{3}$,AC=4$\sqrt{3}$,
∴FG=2$\sqrt{3}$,EF=4$\sqrt{3}$.
分五种情况进行讨论:
①当 0<t≤2时,如图2,CF=t,CM=$\sqrt{3}$t,
则S=$\frac{1}{2}$CF•CM=$\frac{1}{2}$×t×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2;
②当2<t≤2$\sqrt{3}$时,如图3,
CF=t,CD=AB=2$\sqrt{3}$,
则DM=t-2,
∴S=$\frac{1}{2}$(DM+CF)•CD=$\frac{1}{2}$(t-2+t)×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$;
③当2$\sqrt{3}$<t≤6时,如图4,FG=2$\sqrt{3}$,MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(6-2$\sqrt{3}$)=2$\sqrt{3}$-2,
∴S=$\frac{1}{2}$(MN+FG)•CD=$\frac{1}{2}$×(2$\sqrt{3}$-2+2$\sqrt{3}$)×2$\sqrt{3}$=12-2$\sqrt{3}$;
④当6<t≤8时,如图5,BG=FG-BF=2$\sqrt{3}$-(t-6)=2$\sqrt{3}$+6-t,AN=BG-NH=(2$\sqrt{3}$+6-t)-(2$\sqrt{3}$-2)=8-t,
∴AM=$\sqrt{3}$AN=8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t,
∴S=S矩形ABGH-S△AMN=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12;
⑤当8<t<$6+2\sqrt{3}$时,如图6,BG=2$\sqrt{3}$+6-t,
∴S=BG•AB=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12;
(3)∵△C1PQ为等腰三角形,
当PQ=PC′,如下图7:
则∠Q=∠C′=30°,
∴∠EPC′=60°,
∵∠E=30°,
∴∠A′B′E=30°,
∴α=30°.
同理:当PQ=QC′,PC′=QC′,α=120°、165°.
∴△C1PQ为等腰三角形,旋转角为30°、120°、165°.
点评 此题属于几何变换综合题.考查了旋转的性质、平移的性质以及等腰三角形的性质等知识.解决此类问题的关键分析图形的变换情况,在变换过程中,找准变量和不变量.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 10cm2 | B. | $\frac{10}{n}$cm2 | C. | $\frac{1}{2^n}$cm2 | D. | $10×\frac{1}{2^n}c{m^2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1cm,2cm,4cm | B. | 8cm,6cm,4 cm | C. | 12cm,5cm,6cm | D. | 3cm,3cm,6cm |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$=$\sqrt{7}$ | B. | 3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3 | C. | $\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$ | D. | $\sqrt{4}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | B. | C. | D. |
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