Question

5．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，则3S_△EDH=13S_△DHC，其中结论正确的有①②③④．

Answer 1

分析 ①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
③同②证明△EHF≌△DHC即可；
④若$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=$\sqrt{26}$x，CD=6x，则S_△DHC=$\frac{1}{2}$×HM×CD=3x²，S_△EDH=$\frac{1}{2}$×DH²=13x²．

解答 解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=$\frac{1}{2}$∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFH=∠DCH}\\{FH=CH}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=$\frac{1}{2}$∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFH=∠DCH}\\{FH=CH}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=DF}\\{∠EGH=∠HFD}\\{GH=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH=$\sqrt{26}$x，CD=6x，
则S_△DHC=$\frac{1}{2}$×HM×CD=3x²，S_△EDH=$\frac{1}{2}$×DH²=13x²，
∴3S_△EDH=13S_△DHC，故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．