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精英家教网如图,抛物线y=-x2+2nx+n2-9(n为常数)经过坐标原点和x轴上另一点C,顶点在第一象限.
(1)确定抛物线所对应的函数关系式,并写出顶点坐标;
(2)在四边形OABC内有一矩形MNPQ,点M,N分别在OA,BC上,A点坐标为(2,8)B点坐标为(4,8),点Q,P在x轴上.当MN为多少时,矩形MNPQ的面积最大,最大面积是多少?
分析:(1)根据抛物线过原点及顶点在第一象限的特点可求出n的值,进而求出其解析式.
(2)根据(1)中抛物线的解析式可求出C点的坐标,作AH⊥x轴于H.设M点的坐标为(x,y),根据△OMQ∽△OAH可求出y与x的函数关系式,由抛物线的对称性可知QP的长,根据矩形的面积公式可列出S与x之间的函数关系式,根据函数图象的顶点坐标可求出其最大值.
解答:精英家教网解:(1)∵抛物线过(0,0)点.
∴n2-9=0(1分)
∴n=±3,(2分)
∵顶点在第一象限,
∴-
b
2a
=n>0且
4ac-b2
4a
=
-4n2
-4
=n2>0(不写不扣分),
∴n=3(3分)
∴抛物线y=-x2+6x(4分)
顶点坐标为(3,9).(5分)

(2)如图所示,作AH⊥x轴于H.
设M点的坐标为(x,y)
∴△OMQ∽△OAH,
OQ
OH
=
MQ
AH
(7分)
x
2
=
y
8

∴y=4x(8分)
由抛物线的对称性可知:QP=MN=6-2x.(9分)
∴SMNPQ=4x(6-2x)=-8x2+24x(10分)
∴当x=-
b
2a
=-
24
-16
=
3
2
时,(11分)MN=6-
3
2
×2=3时,SMNPQ最大=-8×
9
4
+24×
3
2
=18,
答:MN等于3时,矩形MNPQ的最大面积是18.(12分)
点评:此题考查的是二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质,有一定的综合性,但难度不大.
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26、已知:如图,抛物线C1,C2关于x轴对称;抛物线C1,C3关于y轴对称.抛物线C1,C2,C3与x轴相交于A、B、C、D四点;与y相交于E、F两点;H、G、M分别为抛物线C1,C2,C3的顶点.HN垂直于x轴,垂足为N,且|OE|>|HN|,|AB|≠|HG|
(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中,四个点可以连接成一个四边形,请你用字母写出下列特殊四边形:菱形
AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四边形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每种特殊四边形只能写一个,写错、多写记0分)
(2)证明其中任意一个特殊四边形;
(3)写出你证明的特殊四边形的性质.

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精英家教网如图,抛物线交x轴于点A(-2,0),点B(4,0),交y轴于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)若直线y=x交抛物线于M,N两点,交抛物线的对称轴于点E,连接BC,EB,EC.试判断△EBC的形状,并加以证明;
(3)设P为直线MN上的动点,过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F.问:在直线MN上是否存在点P,使得以P,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P及相应的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线的顶点坐标为M(1,4),与x轴的一个交点是A(-1,0),与y轴交于点B,直线x=1交x轴于点N.
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;
(2)求经过B、M两点的直线的解析式,并求出此直线与x轴的交点C的坐标;
(3)若点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请你探索:在x轴上方是否存在这样的P点,使精英家教网以P为圆心的圆经过点A,并且与直线BM相切?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,-3)精英家教网.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.

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精英家教网如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点是A(-1,0),B(3,0),则如图可知y<0时,x的取值范围是(  )
A、-1<x<3B、3<x<-1C、x>-1或x<3D、x<-1或x>3

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