Question

在坡面为OA的斜坡上，有两根电线杆OC，AD，如图，以地平面为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=41米，AB=9米，OC=AD=10米，坡面中点F处与电线的距离EF=7.5米
（1）求电线所在的抛物线解析式；
（2）若平行于y轴的任意直线x=k交抛物线于点M，交坡面OA于点N，求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）由OA=41米，AB=9米，利用勾股定理求OB，确定C、D、E三点坐标，求抛物线解析式；
（2）求OA的解析式，则MN=抛物线解析式-直线OA解析式，再求MN的最小值．

解答：解：（1）∵OA=41，AB=9，在Rt△OAB中，OB=

OA2-AB2

=40，
∴F（20，4.5），E（20，12），C（0，10），D（40，19），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，则

c=10 400a+20b+c=12 1600a+40b+c=19

，
解得

a= 1 160 b=- 1 40 c=10

，
∴y=

1

160

x²-

1

40

x+10；

（2）∵A（40，9），
∴直线OA解析式为y=

9

40

x，
∴MN=（

1

160

x²-

1

40

x+10）-（

9

40

x）=

1

160

x²-

1

4

x+10=

1

160

（x-20）²+

15

2

，
∴MN的最小值为

15

2

米．

点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，表示抛物线上的三点坐标，求抛物线解析式，运用二次函数的性质解题．