如图.已知正方形OABC在直角坐标系xOy中.点A.C分别在x轴.y轴的正半轴上.点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点.E.F分别在OA.OC上.且OA=4.OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置.连接CF1.AE1．(1)求证:△OAE1≌△OCF1,(2)若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周.是否存在某一位置.使得OE∥CF?若存在.请求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2010•潍坊）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置，连接CF₁、AE₁．
（1）求证：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；
（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．
解答：解：（1）证明：
∵四边形OABC为正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置时，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁．                                          （3分）

（2）存在．                                                  （4分）
∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，
则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．                         （5分）
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．

又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF₁和CF₂，
此时，E点分别在E₁点和E₂点，满足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂．（7分）
当切点F₁在第二象限时，点E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁=

，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴点E₁的横坐标为：x_E1=2cos60°=1，
点E₁的纵坐标为：y_E1=2sin60°=

，
∴点E₁的坐标为（1，

）；（9分）
当切点F₂在第一象限时，点E₂在第四象限．
同理可求：点E₂的坐标为（1，-

）．（10分）
综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，
此时点E的坐标为E₁（1，

）或E₂（1，-

）．（11分）
点评：本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定以及解直角三角形等重要知识．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点．

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