Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE：EC＝1：3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为__________．

Answer 1

【答案】9.

【解析】

过点M作GH⊥AD，证明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1A∽△∠EF1F2，求得F1F2=18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．

解：∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，

∴△EGM≌△FHM．
∴MG=MH．
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．
当点P与B重合时，AF1=BE=2，
当点P与点A重合时，∠F2+∠EAF1=90°，∠AEF1+∠EAF1=90°，
∴∠F2=∠AEF1．
∵∠EF1A=∠EF1F2，
∴△EF1A∽△∠F2F1E．

∴，

∴，

∴=18，

∵M1M2是△EF1F2的中位线，
∴M1M2=F1F2=9．
故答案为：9．