Question

3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；
（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根据正方形性质求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根据全等三角形判定推出即可；②根据全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；
（2）四边形CEFK是平行四边形，推出EF=CK，EF∥CK，根据平行四边形的判定推出即可．

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，
在△GAD和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAD=∠ECD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DG；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA=∠CDE，
∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∴DE⊥DG；
（2）四边形CEFK是平行四边形，理由如下：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，
在△KBC和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠ECD}\\{KB=EC}\end{array}\right.$，
∴△KBC≌△ECD（SAS），
∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，
∵∠B=90°，
∴∠KCB+∠BKC=90°，
∴∠KCB+∠DEC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°，
∵四边形DGFE是正方形，
∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK是平行四边形．

点评 此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．