Question

（2001•呼和浩特）已知AB是⊙O的直径、弦CD⊥AB，垂足为E，弦AQ交CD于P，如果AB=10，CD=8，求：（1）DE的长；（2）AE的长；（3）AP•AQ的值．（要求：考生作图求解，图画在卷面右侧）

Answer 1

【答案】分析：连接OD，BQ，由垂径定理知，DE=CD，由勾股定理可求得OE的值，进而求得AE的值，由于△APE∽△ABQ，可求得AP•AQ的值．
解答：解：连接OD，BQ
∵CD⊥AB，垂足为E，AB=10
∴DE=CD=4，OD=OA=5
在Rt△ODE中，由勾股定理得，OE=3
∴AE=AO-OE=2
∵AB是⊙O的直径
∴∠Q=∠AED=90°
又∵∠PAE=∠BAQ
∴△APE∽△ABQ
∴AP：AB=AE：AQ
即AP•AQ=AE•AB=2×10=20．
点评：本题利用了垂径定理，勾股定理，直径对的圆周角定理是直角，相似三角形的判定和性质求解．