Question

阅读材料：
若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．根据上述材料解决下列问题：
已知关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²；有两个实数根：x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）首先将原方程化为一般式，由关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m的取值范围；
（2）由y=x₁+x₂=-

b

a

，代入即可求得：y=2-2m，根据（1）中m的取值范围，即可求得最小值．

解答：解：（1）∵x²=2（1-m）x-m²，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²有两个实数根，
∴△=[-2（1-m）]²-4m²=-8m+4≥0，
解得：m≤0.5．
∴m的取值范围：m≤0.5；

（2）∵y=x₁+x₂=-

b

a

=-

-2(1-m)

1

=2-2m，
∴当m=0.5时，y有最小值，最小值为1．

点评：此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．