Question

如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=5，cos∠A=

2

5

，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：几何综合题

分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；
（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到cos∠FOD=

OD

OF

=

2

5

，设⊙O的半径为R，解方程

R

R+5

=

2

5

，求出R=

10

3

，那么AB=2OD=

20

3

，解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cos∠A=

AE

AF

=

2

5

，求出AE=

14

3

，然后由BE=AB-AE即可求解．

解答：（1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=

OD

OF

=

2

5

，
设⊙O的半径为R，则

R

R+5

=

2

5

，
解得R=

10

3

，
∴AB=2OD=

20

3

．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=

AE

AF

=

AE

5+ 20 3

=

2

5

，
∴AE=

14

3

，
∴BE=AB-AE=

20

3

-

14

3

=2．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．