Question

4．如图，直线l：y=$\frac{1}{2}$x，点A₁（0，1），过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，以原点O 为圆心，OB₁长为半径画弧交y轴于点A₂；再过点A₂作y轴的垂线交直线l于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交y 轴于点A₃，…，按此做法进行下去，OA₂₀₁₇的长为（　　）

• A． （$\sqrt{5}$）²⁰¹⁶
• B． （$\sqrt{5}$）²⁰¹⁷
• C． 2²⁰¹⁶
• D． 2²⁰¹⁷

Answer 1

分析 首先计算出OA₁，A₁B₁的长，进而得到tan∠B₁OA₁的值，然后再利用三角函数值计算出OA₂、OA₃、…进而得到点A_n（0，2^n-1），进而得到答案．

解答 解：由A₁坐标为（0，1），可知OA₁=1，
把y=1代入直线y=$\frac{1}{2}$x中，得x=2，即A₁B₁=2，
∴OB₁=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OA₂=OB₁=$\sqrt{5}$，
同理OA₃=（$\sqrt{5}$）²，OA₄=（$\sqrt{5}$）³，
∴OA_n=（$\sqrt{5}$）^n-1．
因此A₂₀₁₇的坐标为（$\sqrt{5}$）²⁰¹⁶．
故选A．

点评 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．