Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；

（2）如图，连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=

1

2

CD=4，
则根据勾股定理知AC=

CD2-AD2

=4

3

，即弦AC的长是4

3

；

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4

3

，则S_△ADC=

1

2

AD•AC=

1

2

×4×4

3

=8

3

．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S_△AOC=

1

2

S_△ADC=4

3

．
根据图示知，S_阴影=S_扇形ADO+S_△AOC=

60π×42

360

+4

3

=

8π

3

+4

3

，即图中阴影部分的面积是

8π

3

+4

3

．