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    （2012•辽阳）如图，抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为
    10
    3
    ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
    （1）求抛物线的表达式；
    （2）直线y=
    3
    4
    x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=
    3
    4
    x+m的表达式；
    （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=
    3
    4
    x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．
    （2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
    （3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
    ①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
    ②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C
    ∴C（0，-3）则 OC=3；
    ∵P到x轴的距离为
    10
    3
    ，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
    ∴P（-1，-
    10
    3
    ）；
    ∵C关于直线l的对称点为A
    ∴A（-2，-3）；
    将点A（-2，-3），P（-1，-
    10
    3
    ）代入抛物线y=ax2+bx-3中，有：
    4a-2b-3=-3
    a-b-3=-
    10
    3
    ，解得
    a=
    1
    3
    b=
    2
    3

    ∴抛物线的表达式为y=
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x-3．

    （2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
    ∵∠DEG=∠BEC
    ∴△DEG∽△BEC
    ∵DE：BE=4：1，
    ∴DG：BC=4：1；
    已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
    将x=4代入y=
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
    ∵直线y=
    3
    4
    x+m过点D（4，5）
    ∴5=
    3
    4
    ×4+m，则 m=2；
    ∴所求直线的表达式y=
    3
    4
    x+2．

    （3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
    设点M（x，
    3
    4
    x+2），则：OM2=
    25
    16
    x2+3x+4、FM2=
    25
    16
    x2；
    （Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
    ∴
    3
    4
    x+2=1，x=-
    4
    3
    ；即点M的坐标（-
    4
    3
    ，1）．
    （Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
    ①FM=OF=2，则：
    25
    16
    x2=4，x1=
    8
    5
    、x2=-
    8
    5

    代入y=
    3
    4
    x+2中，得：y1=
    16
    5
    、y2=
    4
    5
    ；
    即点M的坐标（
    8
    5
    ，
    16
    5
    ）或（-
    8
    5
    ，
    4
    5
    ）；
    ②OM=OF=2，则：
    25
    16
    x2+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=-
    48
    25

    代入y=
    3
    4
    x+2中，得：y=
    14
    25
    ；
    即点M的坐标（-
    48
    25
    ，
    14
    25
    ）；
    综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-
    4
    3
    ，1）、（
    8
    5
    ，
    16
    5
    ）、（-
    8
    5
    ，
    4
    5
    ）、（-
    48
    25
    ，
    14
    25
    ）．
    点评：此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．
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