Question

如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1。

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3，若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为y=x2-x-1，令x2-x-1=0，得：x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）； （2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a，a2-a-1）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3， 作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD， ∴S四边形ABCD=|xAyC|+（|yD|+|yC|）xM+（xB-xM）|yD| =×1×1+[-（a2-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a2-a-1）] =-a2+a+2， ∴由-a2+a+2=3，解得：a1=1，a2=2， ∴D的纵坐标为：a2-a-1=-或-1， ∴点D的坐标为（1，），（2，-1）； （3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4， 当x=-4时，y=7；当x=4时，y=； 所以此时点P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4，）； ②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG， ∴GO=GH， ∵线段AB的中点G的横坐标为1， ∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=-1， ∴这是有符合条件的点P3（2，-1）， ∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4，）；P3（2，-1）。