Question

如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．
（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE=∠CBF；
（2）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值；
（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，则AB²=AC²+BC²）
（3）若点P在射线BC上，且NB=NP，求证：NP⊥ND．

Answer 1

分析：（1）用SAS证明△ADE≌△CBF，从而得出∠ADE=∠CBF；
（2）由于D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小．根据勾股定理可求出BM的长度，从而得出DN+MN的最小值；
（3）当点P在射线BC上时，分三种情况进行讨论：①点P在线段BC上（P与B、C不重合）；②点P与点C重合；③点P在BC延长线上．针对每一种情况，都证明∠DNP=90°，然后根据垂直的定义，得出NP⊥ND．

解答：解：（1）证明：∵E、F为AC的三等分点，
∴AE=

1

3

AC，CF=

1

3

AC，∴AE=CF．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠BAC=∠BCA=45°，
同理∠DAC=45°，
∴∠BCA=∠DAC．
∵△ADE≌△CBF，
∴CB=AD，
∴在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠DAE=∠BCF，AD=CB，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠ADE=∠CBF．

（2）∵D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小．（4分）
∵AB=8，DM=2，∴CM=6．
在Rt△MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，根据题中定理可求出BM=10．
∴DN+MN最小值为10．

（3）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∵D、B关于AC对称，
∴∠NBP=∠NDC，
∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°
∴∠DNP=360°-（∠BCD+∠NDC+∠NPC）=90°
∴NP⊥ND．

②当点P与点C重合时，点N恰好在AC的中点处，
∵∠NDC=∠NCD=45°，∴∠DNC=90°．
∴NP⊥ND．

③当点P在BC延长线上时，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∴D、B关于AC对称，∠NBP=∠NDC，
∴∠NPC=∠NDC，
又∵∠DHN=∠CHP，
∴∠DNP=∠DCP=90°，
∴NP⊥ND．

点评：本题综合考查了全等三角形的判定，轴对称--最短路线问题及垂直的判定，有一定难度．