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如图,把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD,N是斜边AC上一精英家教网动点.
(1)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE=∠CBF;
(2)若M是DC上一点,且DM=2,求DN+MN的最小值;
(注:计算时可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,则AB2=AC2+BC2
(3)若点P在射线BC上,且NB=NP,求证:NP⊥ND.
分析:(1)用SAS证明△ADE≌△CBF,从而得出∠ADE=∠CBF;
(2)由于D、B关于AC对称,所以当B、N、M在一直线上时,DN+MN最小.根据勾股定理可求出BM的长度,从而得出DN+MN的最小值;
(3)当点P在射线BC上时,分三种情况进行讨论:①点P在线段BC上(P与B、C不重合);②点P与点C重合;③点P在BC延长线上.针对每一种情况,都证明∠DNP=90°,然后根据垂直的定义,得出NP⊥ND.
解答:解:(1)证明:∵E、F为AC的三等分点,
∴AE=
1
3
AC,CF=
1
3
AC,∴AE=CF.
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∵∠BAC=∠BCA=45°,
同理∠DAC=45°,
∴∠BCA=∠DAC.
∵△ADE≌△CBF,
∴CB=AD,
∴在△ADE和△CBF中,
AE=CF,∠DAE=∠BCF,AD=CB,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠ADE=∠CBF.

(2)∵D、B关于AC对称,所以当B、N、M在一直线上时,DN+MN最小.(4分)
∵AB=8,DM=2,∴CM=6.
在Rt△MCB中,∠MCB=90°,CM=6,BC=8,根据题中定理可求出BM=10.
∴DN+MN最小值为10.

(3)①当点P在线段BC上(P与B、C不重合)时,精英家教网
∵NB=NP,∴∠NBP=∠NPB.
∵D、B关于AC对称,
∴∠NBP=∠NDC,
∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°
∴∠DNP=360°-(∠BCD+∠NDC+∠NPC)=90°
∴NP⊥ND.
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②当点P与点C重合时,点N恰好在AC的中点处,
∵∠NDC=∠NCD=45°,∴∠DNC=90°.
∴NP⊥ND.

③当点P在BC延长线上时,精英家教网
∵NB=NP,∴∠NBP=∠NPB.
∴D、B关于AC对称,∠NBP=∠NDC,
∴∠NPC=∠NDC,
又∵∠DHN=∠CHP,
∴∠DNP=∠DCP=90°,
∴NP⊥ND.
点评:本题综合考查了全等三角形的判定,轴对称--最短路线问题及垂直的判定,有一定难度.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD,N是斜边AC上一动点.
(1)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE=∠CBF;
(2)若M是DC上一点,且DM=2,求DN+MN的最小值;
(注:计算时可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,则AB2=AC2+BC2
(3)若点P在射线BC上,且NB=NP,求证:NP⊥ND.

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科目:初中数学 来源:期末题 题型:解答题

如图,把两个全等的腰长为8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD,N是斜边AC上一动点。
(Ⅰ)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE= ∠CBF;      
(Ⅱ)若M是DC上一点,且DM=2,求DN+MN的最小值;(注:计算时可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,则AB2=AC2+BC2)
(Ⅲ)若点P在射线BC上,且NB=NP,求证:NP⊥ND。

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科目:初中数学 来源: 题型:

 如图,把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD,N是斜边AC上一动点.

(Ⅰ)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE=∠CBF;

 
 


      (Ⅱ)若M是DC上一点,且DM=2,求DN+MN的最小值;

(注:计算时可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,则AB2=AC2+BC2.)

 
 


(Ⅲ)若点P在射线BC上,且NB=NP,求证:NP⊥ND.

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