Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AC交直径BD于点E，AG⊥BD于点G，延长AG交BC于点F． 求证：AB²＝BF·BC．

Answer 1

证明：延长AF，交⊙O于H.

∵直径BD⊥AH，∴= .                         ……………………2分
∴∠C=∠BAF.                                    ………………………3分
在△ABF和△CBA中，
∵∠BAF =∠C，∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA.                    …………………………………………4分
∴，即AB²=BF×BC.        …………………………………………5分
证明2：连结AD，
∵BD是直径，∴∠BAG+∠DAG=90°.                   ……………………1分
∵ＡＧ⊥ＢＤ，∴∠DAG+∠D=90°.
∴∠BAF =∠BAG =∠D.                                ……………………2分
又∵∠C =∠D，                           
∴∠BAF=∠C.                                      ………………………3分

略