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已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的两点A(x1,0)、B(x2精英家教网0)和y轴上的点C(0,-
3
2
),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若b=
3
a,AB=2
3

(1)求抛物线的对称轴及其中C的值.
(2)求抛物线的解析式.
(3)直线BP与⊙P交于另一点D,求证D点在抛物线对称轴上,并求过点D⊙P的切线的解析式.
分析:(1)利用对称轴公式求出即可求出对称轴,以及将C点代入求出C的值即可;
(2)根据一元二次方程中根与系数的关系求出x1+x2=-
3
,x1•x2=-
3
2a
,进而求出a的值即可;
(3)首先过D作DE⊥y轴于E,证明△BOP≌△DEP,利用勾股定理求出D点坐标,再利用过D点⊙P的切线交y轴于F,证出△PDE∽△DEF,从而求出F点的坐标,即可得出直线DF的解析式.
解答:精英家教网解:(1)抛物线的对称轴为:x=-
b
2a
=-
3
2a
a=
3
2

∵抛物线经过点C(0,-
3
2

∴C=-
3
2


(2)由题意得:x1,x2是方程ax2+
3
ax-
3
2
=0的两根,
∴x1+x2=-
3
,x1•x2=-
3
2a

又∵AB=x1-x2=2
3

∴(x2-x12=12
(x1+x22-4x1x2=12
∴3+4×
3
2a
=12
∴a=
2
3

∴抛物线的解析式为y=
2
3
x2+
2
3
3
x-
3
2


(3)在y=
2
3
x2+
2
3
3
x-
3
2

中,令y=0,得
4x2+4
3
x-9=0,
解得:X1=-
3
3
2
,X2=
3
2

∴A(-
3
3
2
,0),B(
3
2
,0).
过D作DE⊥y轴于E
∵∠OPB=∠EPD,∠POB=∠PED,PB=PD
∴△BOP≌△DEP(SAS)
∴DE=OB
∴D点的横坐标为-
3
2

∴D点在抛物线的对称轴X=
3
2
上,
设⊙P的半径为R,则有:(
3
2
-R)2+(
3
2
2=R2
∴R=1∴OP=
1
2

∴PE=OP=
1
2

∴D(-
3
2
,-1),
设过D点⊙P的切线交y轴于F,
∵DF为⊙P切线,
∴∠PDF=90°,
又∵DE⊥y轴,
∴△PDE∽△DEF,
DE2=PE•EF
∴EF=
3
2

∴F(0,-
5
2
),
设直线DF的解析式为y=kx+b,
-
3
2
k+b=-1
b= -
5
2

解得:
k=-
3
b= -
5
2

∴直线DF的解析式为:y=-
3
x-
5
2
点评:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及三角形全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识,灵活的利用数形结合正确得出函数图象上的交点坐标是解题的关键.
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标分别为-1和3,精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3,△ABC的外接圆的圆心为点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求图象经过M、A两点的一次函数解析式;
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上,矩形面积为12,
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)⊙P是经过A、B两点的一个动圆,当⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能,请说明理由.

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(2013•宁化县质检)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1-
3
,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P′(1,3)处.
(1)求原抛物线的解析式;
(2)在原抛物线上,是否存在一点,与它关于原点对称的点也在该抛物线上?若存在,求满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)学校举行班徽设计比赛,九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比
5
-1
2
(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:
5
≈2.236
6
≈2.449
,结果精确到0.001)

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已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且△ABC与△ABM的面积相等,直接写出点M的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由.

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精英家教网已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称.
(1)求p、q的值.
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接PA、AC.问:在直线PC上,是否存在这样点E(不与点C重合),使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

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