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为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室E,并使图书室E到本社区两所精英家教网学校C和D的距离相等(C、D所在位置如图所示),CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=10km,CA=8km,DB=6km.
(1)请用尺规在图中作出点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求图书室E与点A的距离.
分析:(1)作出CD的垂直平分线,使之交AB于点E即可;
(2)作BF∥CD交所作的垂直平分线于点G,交AC于点F,利用勾股定理可得BF的长度,利用∠ABF的余弦值可得BE的长度,让10减去BE的长度可得AE的长度.
解答:解:(1)
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(2)连接CE、DE,
设AE=xkm,则BE=(10-x)km;
在Rt△ACE中,由勾股定理得:CE2=AE2+AC2=x2+82
同理可得:DE2=(10-x)2+62
若CE=DE,则x2+82=(10-x)2+62
解得:x=3.6km;
答:图书室E与点A的距离为3.6km.
点评:考查线段垂直平分线的作图和有关解直角三角形的计算;作辅助线构造出直角三角形及平行四边形是解决本题的难点.
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20、为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,试问:图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?

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