Question

8．如图，已知点A（-3，0），二次函数y=ax²+bx+$\sqrt{3}$的对称轴为直线x=-1，其图象过点A与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标；
（2）动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个三位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连结MN，将△BMN沿MN翻折，若点B恰好落在抛物线弧上的B′处，试求t的值及点B′的坐标；
（3）在（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据等边三角形的判定，可得△MBN是正三角形，根据翻折的性质，可得B′N，∠B′NM，根据平行线的判定，可得B′的纵坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得关于t的方程，根据解方程，可得t，可得B′的坐标；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{9a-3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
二次函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$
配方得y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
顶点坐标为（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
（2）如图1，
由题意知OA=3，OB=1，ON=$\sqrt{3}$，
∴∠CBA=60°，
又∵BM=BN，
∴△MBN是正三角形，
∴M（1-2t，0），N（1-t，$\sqrt{3}$t）．
将△BMN沿MN翻折后，得
B′N=BN=2t，∠B′NM=∠BMN=60°，
∴B′N∥BM，
∴B′（1-3t，$\sqrt{3}$t），
又点B′在抛物线上，
∴$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1-3t）²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1-3t）+$\sqrt{3}$，
化简，得9t²-9t=0，解得t=0（不符合题意，舍）t=1，
t=1时，1-3t=-2，$\sqrt{3}$t=$\sqrt{3}$，
∴B′（-2，$\sqrt{3}$）；
（3）由题意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又Q（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
①如图2，
由题意知OA=3，OB=1，
P在x轴上时，过Q作P₁Q⊥BQ交x轴于P₁点，
∵P₁Q∥AC，
∴₁BQ∽△ABC，
$\frac{{P}_{1}B}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
解得P₁B=2，OP₁=1，P₁（-1，0）；
过Q作P₂Q⊥x轴于P₂，
∵∠P₂BQ=∠CBA，∠QPB=∠ACB，
∴QBP₂∽△ABC，
$\frac{B{P}_{2}}{BC}$=$\frac{{P}_{2}Q}{AC}$，
解得BP₂=$\frac{1}{2}$，OP₂=$\frac{1}{2}$，
P₂（$\frac{1}{2}$，0）；
P在x轴的其它位置时，△PBQ不可能为直角三角形，不可能与△ABC相似；
②同理，当P在y轴上时，作P₃Q⊥BQ交y轴于P₃，
∵∠P₃BQ=∠BAC=∠P₃BO=30°，∠P₃QB=∠ACB=90°，
∴△BP₃Q∽△ABC．
∵tan∠P₃BO=$\frac{{P}_{3}O}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，P₃O=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
P₃（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
B作P₄B⊥BQ交y于P₄，但$\frac{B{P}_{4}}{BQ}$≠$\frac{AC}{BC}$，
∴△QBP₄Y与△ABC不相似，P在y轴上其它位置时，△PQB不为直角三角形，不能与△ABC相似；
综上所述：坐标轴上存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似，P点坐标为（-1，0），（$\frac{1}{2}$，0），（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用翻折的性质平行线的判定与性质得出B′的坐标，又利用了点的坐标满足函数解析式；解（3）的关键是相似三角形的判定与性质，要分类讨论，以防遗漏．