如图.矩形A′O′C′B是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上.边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O′点在x轴的正半轴上.B点的坐标为(1.3)．O′C′与AB交于D点．(1)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象经过O.O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1.求这个二次函数的解析式,(2)求D点的坐标．(3)若将直线y=-3x沿y轴向上平移.分别交x轴于点E.交y轴于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，矩形A′O′C′B是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．O′C′与AB交于D点．
（1）如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
（2）求D点的坐标．
（3）若将直线y=-3x沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以B、O′、F、P为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
（4）若将直线y=-3x沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以EF为直角边的△QEF与△OEF相似，直接写出点Q的坐标．

分析（1）先求矩形对角线BO，由旋转得：BO=BO′=$\sqrt{10}$，再由勾股定理求得AO′，则可得：直线AB是抛物线的对称轴，得顶点坐标M（1，-1），设出二次函数的解析式为顶点式，将点O′的坐标代入可得结果；
（2）根据旋转的性质证明BD=DO′，设BD=x，则O′D=x，AD=3-x，根据勾股定理列方程可求出点D的坐标；
（3）如图2，先求直线O′B的解析式，因为一次函数的一次项系数相等，所以FP∥BO′，当FP=BO′时，四边形FPBO′是平行四边形，证明△BAO′≌△FGM，可以求出此时点P的坐标；如图3，当直线y=-3x在原位置时，B、O′、F、P为顶点的四边形也是平行四边形，并求出此时点P的坐标；
（4）分四种情况：
①如图4和图5，当∠FEQ=90°时，△FEQ与△FOE相似会有两种情况，根据$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，分别得出$\frac{EQ}{FE}$的值，过Q作QH⊥x轴于H，设最小边为a，证明△FOE∽△EHQ，列比例式可求得未知数的值，从而写出Q的坐标；
②如图6和图7，当∠EFQ=90°时，△FEQ与△FOE相似也会有两种情况，过Q作QH⊥y轴于H，设最小边为a，同理可求得点Q的坐标，写出结论即可．

解答解：（1）如图1，连接BO、BO′，
∵B（1，3），
∴OA=1，AB=3，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由旋转得：BO=BO′=$\sqrt{10}$，
∴AO′=$\sqrt{BO{′}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{3}^{2}}$=1，
∴O′（2，0），
∴直线AB是抛物线的对称轴，
∴M（1，-1），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²-1，
把O′（2，0）代入得：0=a（2-1）²-1
a=1，
∴这个二次函数的解析式为：y=（x-1）²-1=x²-2x；
（2）如图1，由旋转得：∠AOB≌△C′O′B，∠ABO=∠ABO′，
∴BD=O′D，
设BD=x，则O′D=x，AD=3-x，
在Rt△ADO′中，由勾股定理得：x²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
∴AD=3-x=$\frac{4}{3}$，
∴D（1，$\frac{4}{3}$）；
（3）如图2，设直线O′B的解析式为：y=kx+b，
把O′（2，0）、B（1，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线O′B的解析式为：y=-3x+6，
∵直线EF是y=-3x平移所得，
∴EF∥O′B，
过P作PG⊥y轴于G，
∵EF∥BO′，
∴∠FEO=∠BO′O，
∵OE∥GM，
∴∠FEO=∠FMG，
∴∠BO′O=∠FMG，
同理可得：∠OFE=∠ABO′，
∵FP∥BO′，
∴当FP=BO′时，四边形FPBO′是平行四边形，
∴△BAO′≌△FGM，
∴GP=AO′=1，
当x=1时，y=1²-2×1=-1，
∴P（1，-1）；
如图3，由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴P（-1，3），
∴OP=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OP=BO′，
∵OP∥BO′，
∴四边形BPFO′是平行四边形，
即当直线y=-3x向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、O′、F、P为顶点的四边形是平行四边形，
此时P（-1，3），
综上所述，P点坐标为（1，-1）或（-1，3）；
（4）分四种情况：
①如图4，当∠FEQ=90°时，若△FEQ∽△FOE，
由题意可知：$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{EQ}{FE}=\frac{1}{3}$，
过Q作QH⊥x轴于H，
∵∠FEQ=90°，
∴∠FEO+∠QEH=90°，
∵∠FOE=90°，
∴∠FEO+∠OEF=90°，
∴∠QEH=∠OFE，
∵△FOE∽△EHQ，
∴$\frac{OE}{HQ}=\frac{OF}{EH}$，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{HQ}{EH}=\frac{1}{3}$，
设HQ=a，则EH=3a，
∴EQ=$\sqrt{10}$a，
∴EF=3$\sqrt{10}$a，
在Rt△OEF中，OE²+OF²=EF²，
$O{E}^{2}+9O{E}^{2}=（3\sqrt{10}a）^{2}$，
OE=±3a，
∴OH=6a，
∴Q（6a，a），
把Q（6a，a）代入到y=x²-2x得：a=36a²-12a，
a₁=0（舍），a₂=$\frac{13}{36}$，
∴6a=$\frac{13}{6}$，
Q（$\frac{13}{6}$，$\frac{13}{36}$）；
②如图5，当∠FEQ=90°时，
若△FEQ∽△EOF，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{EF}{EQ}=\frac{1}{3}$，
设OE=a，则OF=3a，EF=$\sqrt{10}$a，
∴EQ=3$\sqrt{10}$a，
同理HQ=3a，EH=9a，
∴Q（10a，3a），
把Q（10a，3a）代入到y=x²-2x得：3a=100a²-20a，
a₁=0（舍），a₂=$\frac{23}{100}$，
∴10a=$\frac{23}{10}$，3a=$\frac{69}{100}$，
Q（$\frac{23}{10}$，$\frac{69}{100}$），
③如图6，当∠EFQ=90°时，
若△EFQ∽△EOF，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{EF}{FQ}=\frac{1}{3}$，
过Q作QH⊥y轴于H，
设OE=a，则OF=3a，EF=$\sqrt{10}$a，FQ=3$\sqrt{10}$a，
同理得：FH=3a，HQ=9a，
∴Q（9a，6a），
把Q（9a，6a）代入到y=x²-2x得：6a=81a²-18a，
a₁=0（舍），a₂=$\frac{8}{27}$，
∴9a=9×$\frac{8}{27}$=$\frac{8}{3}$，6a=6×$\frac{8}{27}$=$\frac{16}{9}$，
∴Q（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{9}$）
④如图7，当∠EFQ=90°时，
若△EFQ∽△FOE，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{FQ}{EF}=\frac{1}{3}$，
过Q作QH⊥y轴于H，
设FH=a，则HQ=3a，FQ=$\sqrt{10}$a，FE=3$\sqrt{10}$a，
同理得：OE=3a，OF=9a，
∴Q（3a，10a），
把Q（3a，10a）代入到y=x²-2x得：10a=9a²-6a，
a₁=0（舍），a₂=$\frac{16}{9}$，
∴3a=3×$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{3}$，10a=10×$\frac{16}{9}$=$\frac{160}{9}$，
∴Q（$\frac{16}{3}$，$\frac{160}{9}$），
综上所述，点Q的坐标是Q（$\frac{13}{6}$，$\frac{13}{36}$）或（$\frac{23}{10}$，$\frac{69}{100}$）或（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{9}$）或（$\frac{16}{3}$，$\frac{160}{9}$）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、直线平移的性质、相似三角形的性质和判定，明确两平行直线的一次项系数相等，采用了分类讨论的思想，对两直角三角形相似分情况进行讨论，构建另外两个三角形相似，列比例式得方程，求解即可．

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