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6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,已知tan∠CBD=$\frac{1}{2}$,CD=1,求AB的长.

分析 先在Rt△DBC中,由tan∠CBD=$\frac{1}{2}$,根据正切函数的定义求出BD=2,利用勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$.再根据同角的余角相等证明∠A=∠CBD,则tan∠A=tan∠CBD=$\frac{1}{2}$,然后在Rt△ABC中根据正切函数的定义即可求出AB=2BC=2$\sqrt{5}$.

解答 解:∵在Rt△DBC中,∠BDC=90°,tan∠CBD=$\frac{1}{2}$,CD=1,
∴$\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{2}$,
∴BD=2,
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,
∴∠ABD+∠CBD=90°,∠ABD+∠A=90°,
∴∠A=∠CBD,
∴tan∠A=tan∠CBD=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$,
∴AB=2BC=2$\sqrt{5}$.

点评 此题考查了解直角三角形,正切函数的定义,勾股定理,关键是根据已知条件求出∠A=∠CBD,从而根据∠CBD的正切值得到∠A的正切值.

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