Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，已知tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，CD=1，求AB的长．

Answer 1

分析 先在Rt△DBC中，由tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，根据正切函数的定义求出BD=2，利用勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．再根据同角的余角相等证明∠A=∠CBD，则tan∠A=tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，然后在Rt△ABC中根据正切函数的定义即可求出AB=2BC=2$\sqrt{5}$．

解答 解：∵在Rt△DBC中，∠BDC=90°，tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，CD=1，
∴$\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，
∴∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD+∠A=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴tan∠A=tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BC=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了解直角三角形，正切函数的定义，勾股定理，关键是根据已知条件求出∠A=∠CBD，从而根据∠CBD的正切值得到∠A的正切值．