Question

9．已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根．
（1）求a²-4a+2015的值；
（2）化简并求值：$\frac{1-2a+{a}^{2}}{a-1}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{{a}^{2}-a}$-$\frac{1}{a}$．

Answer 1

分析 （1）把x=a代入方程求出a²-4a=-1，再代入求出即可；
（2）解方程求出a的值，再根据二次根式的性质和分式的运算法则进行化简，最后代入求出即可．

解答 解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的根，
∴a²-4a+1=0，
∴a²-4a=-1；
∴a²-4a+2015=-1+2015=2014；

（2）原方程的解是：x=$\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$=2±$\sqrt{3}$，
∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a=2-$\sqrt{3}$，且a-1＜0，
∴$\frac{1-2a+a2}{a-1}$-$\frac{\sqrt{a2-2a+1}}{a2-a}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{（a-1）2}{a-1}$-$\frac{|a-1|}{a（a-1）}$-$\frac{1}{a}$
=a-1-$\frac{-（a-1）}{a（a-1）}$-$\frac{1}{a}$
=a-1+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$
=a-1，
当a=2-$\sqrt{3}$时，原式=2-$\sqrt{3}$-1=1-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，分式的混合运算的应用，能正确运用法则进行化简是解此题的关键，难度适中．