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    如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
    （1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
    （2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
    （3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）因为CD⊥AC，所以以AD为直径作圆即为⊙O；
    （2）BC过半径OC外端点C，要证BC是过A，D，C三点的圆的切线，只证OC⊥BC即可．
    （3）通过证明△BDP∽△BCO，再利用相似比即可求得DP的长．
    解答：（1）解：作AD中点O（1分）
    以点O为圆心，OA长为半径作圆．（1分）

    （2）证明：∵CD⊥AC，
    ∴∠ACD=90°，
    ∴AD是⊙O的直径．（1分）
    连接OC，
    ∵∠A=∠B=30°，
    ∴∠ACB=120°．
    又∵OA=OC，
    ∴∠ACO=∠A=30°．（1分）
    ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．（1分）
    ∴BC⊥OC．
    ∴BC是⊙O的切线．（1分）

    （3）解：存在．（1分）
    ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
    ∴∠BCD=∠B．
    即DB=DC．
    又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=，
    ∴BD=．（1分）
    解法一：①过点D作DP1∥OC，则△P1DB∽△COB，．
    ∵BO=BD+OD=，
    ∴P1D=×OC=×=．（1分）
    ②过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，
    ∴．
    ∵BC=，
    ∴P2D=×OC==1．（1分）
    解法二：①当△BP1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°，
    在Rt△BP1D中，DP1=BD•sin30°=．（1分）
    ②当△BDP2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°，
    在Rt△BP2D中，DP2=BD•tan30°=1．（1分）
    点评：此题考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．
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