Question

（1）操作发现：
如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系

 

；
（2）问题解决：
如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：
如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=2

2

+2，直接写出DE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）如图①，设CD=t，由∠C=2∠B=90°易得△ABC为等腰直角三角形，则AC=BC，AB=

2

AC，再根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C=90°，又可判断△BDE为等腰直角三角形，所以BD=

2

DE，则BD=

2

t，AC=BC=

2

t+t=（

2

+1）t，AB=

2

•（

2

+1）t=（2+

2

）t，然后计算AB：AC：CD；
（2）如图②，根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，而∠C=2∠B，则∠AED=2∠B，根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，则EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；
（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，利用（1）的结论得AC=（2+

2

）x，根据等腰三角形的性质由BA=BC，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=

1

2

AC=

2+ 2

2

x，在Rt△BCH中，利用30度的余弦得cos30°=

CH

BC

=

3

2

，即

2+ 2

2

x=

3

2

（2

2

+2），然后解方程求出x即可．

解答：解：（1）如图①，设CD=t，
∵∠C=2∠B=90°，
∴∠B=45°，∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，AB=

2

AC，
∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，
∴DC=DE，∠AED=∠C=90°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD=

2

DE，
∴BD=

2

t，
∴AC=BC=

2

t+t=（

2

+1）t，
∴AB=

2

•（

2

+1）t=（2+

2

）t，
∴AB：AC：CD=（2+

2

）：（

2

+1）：1；
故答案为（2+

2

）：（

2

+1）：1；
（2）AB=AC+CD．理由如下：如图②，
∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，
∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
而∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
（3）作BH⊥AC于H，如图③，
设DE=x，由（1）的结论得AC=（2+

2

）x，
∵BA=BC，∠CBA=120°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∵BH⊥AC，
∴CH=AH=

1

2

AC=

2+ 2

2

x，
在Rt△BCH中，cos30°=

CH

BC

=

3

2

，
∴

2+ 2

2

x=

3

2

（2

2

+2），
解得x=

6

，
即DE的长为

6

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．