Question

18．如图，CB是⊙O的切线，切点为B，CD⊥半径OA于D，交弦AB于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：CE=CB；
（2）若D为半径OA的中点，CD=15，BE=10，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBC=90°，即∠1+∠2=90°，然后证明∠3=∠2，从而利用等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）作CH⊥BE于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH=5，再证明∠A=∠ECH，则sin∠ECH=sinA=$\frac{HE}{CE}$=$\frac{5}{13}$，于是可计算出CE=13，从而得到DE=2，在Rt△ADE中利用正弦的定义计算出AE=$\frac{26}{5}$，接着利用勾股定理计算出AD=$\frac{24}{5}$，然后根据D为半径OA的中点即可得到OA的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴∠OBC=90°，即∠1+∠2=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A，
∵CD⊥OA，
∴∠A+∠4=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴CB=CE；
（2）解：作CH⊥BE于H，如图，
∵CE=CB，
∴BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=5，
∵∠3=∠4，
∴∠A=∠ECH，
在Rt△CHE中，∵sin∠ECH=sinA=$\frac{HE}{CE}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=13，
∴DE=CD-CE=15-13=2，
在Rt△ADE中，∵sinA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{5}{13}$，
∴AE=$\frac{26}{5}$，
∴AD=$\sqrt{（\frac{26}{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∵D为半径OA的中点，
∴OA=2AD=$\frac{48}{5}$，
即⊙O的半径为$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．