Question

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别相交于点M、N．下列命题：①四边形EDCN是菱形；②四边形MNCD是等腰梯形；③△AEN与△EDM全等；④△AEM与△CBN相似；⑤点M是线段AD、BE、NE的黄金分割点，其中假命题有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

Answer 1

分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得①正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得②正确，结合①②的结论可判定③正确，△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，可判断④错误；通过证明△AME∽△AED、△EMA∽△EAB、△AMN∽△EAN可得⑤正确．

解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故①正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由①②可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，

AE=ED ∠AEN=∠EDM DM=EN

，
∴△AEN≌△EDM（SAS）．
△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，则△AEM与△CBN不相似，故④错误；
易得△AME∽△AED、△EMA∽△EAB，△AMN∽△EAN，
故

AM

AE

=

AE

AD

，即

AM

MD

=

AE

AD

，则点M是线段AD的黄金分割点；

EM

AE

=

AE

BE

，即

EM

AE

=

AE

BE

，即

EM

BM

=

BM

BE

，则点M是线段BE的黄金分割点；

MN

AN

=

AN

NE

，即

MN

ME

=

ME

NE

，则点M是线段NE的黄金分割点；
故⑤正确．
综上可得假命题只有④，共1个．
故选B．

点评：本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定及黄金分割的定义，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．