Question

如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．
（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=，
∴cos∠OAB=，
∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2，
在Rt△APM中，=cos∠OAB=，
∴AM=5，OM=2，
点M（0，-2），
又△NPB∽△AOB
∴=，BN=
∴ON=OB-BN=4-=
∴点N（，0）
设MP的解析式为y=kx+b，
∵MP经过M、N两点，
∴得，
解得，
∴MP的解析式为y=x-2．
设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-）（x-4），
且点M（0，-2），可得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-）（x-4），
即y=-x²+x-2．

（2）①四边形OMCB是矩形．
证明：在⊙A不动、⊙B运动变化过程中，
恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，
∴△AOB≌△APM，
∴OB=PM，AB=AM，
∴PB=OM，而PB=PC，
∴OM=BC
由切线长定理知MC=MP，
∴MC=OB，
∴四边形MOBC是平行四边形．
又∵∠MOB=90°，
∴四边形MOBC是矩形．
②存在．由上证明可知Rt△MON≌Rt△BPN，
∴BN=MN
因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在
由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点Mn与M关于其对称轴对称，
∴BN=BMn
这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△MnNB．
分析：（1）已知了A的坐标可得出圆A的半径，在直角三角形OAB中，可根据OA的长和∠OAB的正弦值求出AB和OB的长，进而可得出圆B的半径长．也就求出了B点、M点的坐标．
根据相似三角形BPN和BOA可求出BN的长，进而可求出ON的长，也就得出了N点的坐标，可根据M、N、B三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）①应该是矩形，不难得出△OAB和△PAM全等，那么OB=MP，AM=AB（也可通过圆A的半径长和∠OAB的正切值来求出），由于MP、MC都是圆B的切线，根据切线长定理可得出MP=MC=OB，而OM=BC=AM-OA=AB-AP，由此可得出四边形OBCM是平行四边形．由于∠BOM是直角，因此四边形OBCM是矩形．
②存在，根据①不难得出BN=MN，而M点也在抛物线上，根据抛物线的对称性可知，点M关于抛物线对称轴对称的点Mn也一定符合这样的条件．因此满足条件的三角形有两个，△MNB和△MnNB．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．