尝试探究:小张在数学实践活动中.画了一个Rt△ABC.使∠ACB=90°.BC=1.AC=2.再以B为圆心.BC为半径画弧交AB于点D.然后以A为圆心以AD长为半径画弧交AC于点E.如图.则AE=5-15-1,此时小张发现AE2=AC•EC.请同学们验证小张的发现是否正确．拓展延伸:小张利用上图中的线段AC及点E.接着构造AE=EF=CF.连接AF.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2013•邯郸一模）尝试探究：
小张在数学实践活动中，画了一个Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=1，AC=2，再以B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心以AD长为半径画弧交AC于点E，如图，则AE=

-1

；此时小张发现AE²=AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．
拓展延伸：
小张利用上图中的线段AC及点E，接着构造AE=EF=CF，连接AF，得到下图，试完成以下问题：
①求证△ACF∽△FCE
②求∠A的度数；
③求cos∠A

应用迁移：
利用上面的结论，直接写出：
①半径为2的圆内接正十边形的边长为

-1

②边长为2的正五边形的对角线的长为

．

分析：尝试探究：首先利用勾股定理计算出AB的长，进而得出AD=AE=

-1，再分别求出AE²与AC•EC的值，即可得出答案；
拓展延伸：①利用AE²=AC•EC，得出

，进而得出

，即可得出△ACF∽△FCE；
②利用△ACF∽△FCE，得出AC=AF，进而利用三角形内角和定理得出∠A的度数；
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，由（1）可知AE=

-1，EC=3-

，求出ME=

，以及AM=

，即可得出cos∠A；
应用迁移：①设AF=AC=2，设FC=EF=x，利用△ACF∽△FCE，求出即可；
②根据边长为2的正五边形，设AE=EF=FC=2，△ACF∽△FCE，进而求出即可．

解答：解：尝试探究：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=

，
∴AD=AE=

-1，
∵AE²=（

-1）²=6-2

，AC•EC=2[2-（

-1）]=6-2

，
∴结论正确；
故答案为：

-1，

拓展延伸：
①∵AE²=AC•EC，
∴

，
∵AE=FC，
∴

，
又∵∠C=∠C，
∴△ACF∽△FEC，
②∵△ACF∽△FEC，且EF=FC，
∴AC=AF，
∵AE=EF，
∴∠A=∠AFE，
∴∠FEC=2∠A，
∵EF=FC，
∴∠C=2∠A，

∴∠AFC=∠C=2∠A，
∵∠AFC+∠C+∠A=180°，
∴∠A=36°，
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，
由（1）可知AE=

-1，EC=3-

，
∵EF=FC，由②得：AC=AF=2，
∴ME=

，
∴AM=

，
∴cos∠A=

；

应用迁移：
①∵半径为2的圆内接正十边形，
∴设AF=AC=2，设FC=EF=x，
∵△ACF∽△FCE，
∴

，
∴

2-EF

，
解得：EF=

-1，
∴半径为2的圆内接正十边形的边长为：

-1，
故答案为：

-1，
②∵边长为2的正五边形，
∴设AE=EF=FC=2，
∵△ACF∽△FCE，
∴

，
∴

AF-2

，
解得：AF=

+1，（负值舍去），
∴边长为2的正五边形的对角线的长为

+1，
故答案为：

+1．

点评：此题主要考查了相似三角形判定与性质以及勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系是解题关键．

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