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试题

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm²）．
（1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为 $数学公式$ cm²？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

解：（1）连接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，
∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，
∴∠RPQ=∠RPC-∠CPQ=90°-45°=45°，
由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，
∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，
∴△BQQ′∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t=2.4；

（2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，

又∵RP∥BC，
∴△RPA∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴RP=（8-t）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ RP•Q′D= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •t=- $\text{[math]}$ t²+3t；
当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，

由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，
又∵∠PDE=90°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴DP=DE，
∵△RDE∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即DR= $\text{[math]}$ DE，
∵△RPA∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴RP= $\text{[math]}$ ，
∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+ $\text{[math]}$ DE= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ DE= $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ RP•DE= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；

（3）S能为 $\text{[math]}$ cm²，理由为：
若 $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2.4＜t≤6），
整理得：t²-16t+57=0，
解得：t= $\text{[math]}$ =8± $\text{[math]}$ ，
∴t₁=8+ $\text{[math]}$ （舍去），t₂=8- $\text{[math]}$ ；
若- $\text{[math]}$ t²+3t= $\text{[math]}$ （0＜t≤2.4），
整理得：t²-8t+3=0，
解得：t= $\text{[math]}$ =4± $\text{[math]}$ ，
∴t₁=4+ $\text{[math]}$ （舍去），t₂=4- $\text{[math]}$ ，
综上，当S为 $\text{[math]}$ cm²时，t的值为（8- $\text{[math]}$ ）或（4- $\text{[math]}$ ）秒．
分析：（1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
（2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式；
（3）S能为 $\text{[math]}$ cm²，具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S= $\text{[math]}$ ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当2.4＜t≤6时，令S= $\text{[math]}$ ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
点评：考查了相似形综合题，此题涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质，勾股定理，以及根的判别式，是一道较难的相似形综合题．

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