Question

12．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$；
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）求证；BE⊥DE；
（3）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由于AE⊥AP，得到∠EAP=90°，于是得到∠EAB=∠PAD，即可证得△ABE≌△ADP；
（2）由△ABE≌△ADP，得到∠APD=∠AEB，由于∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，于是得到结论；
（3）如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．根据△AEP为等腰直角三角形，得到∠AEP=45°，由于∠DEB=90°，得到∠FEB=45°，于是得到△EFB为等腰角三角形，于是得到PE=$\sqrt{2}AE$=$\sqrt{2}$，由勾股定理得到BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，EF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求出AB²=AF²+BF²=（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=4+$\sqrt{6}$，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}&{\;}\\{∠EAB=∠PAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP；

（2）证明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE；

（3）解：如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，又∠DEB=90°，
∴∠FEB=45°，又∠EFB=90°，
∴△EFB为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}AE$=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴EF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AF=AE+EF=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AB²=AF²+BF²=（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=4+$\sqrt{6}$，
∴正方形ABCD的面积=AB²=4+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．