如图所示.已知直线y=kx+m与x轴.y轴分别交于A.C两点.抛物线y=-x2+bx+c经过A.C两点.点B是抛物线与x轴的另一个交点.当x=-$\frac{1}{2}$时.y取最大值$\frac{25}{4}$．(1)求抛物线和直线的解析式,(2)设点P是直线AC上一点.且S△ABP:S△BPC=1:3.求点P的坐标,(3)若直线y=$\frac{1}{2}$x+a与(1)中所求的抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=-$\frac{1}{2}$时，y取最大值$\frac{25}{4}$．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）若直线y=$\frac{1}{2}$x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）．

分析（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．
②当P在CA的延长线上时，CP-AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同①．
（3）①设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧），由Rt△MM′O∽Rt△ON′N，推出 $\frac{MM′}{ON′}$=$\frac{OM′}{NN′}$，即MM′•NN′=ON′•OM′，推出-x_M•x_N=y_M•y_N，由方程组消去y整理，得：x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0，再利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．
②利用①的结果即可判断．

解答解：（1）当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+\\;c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=6}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6，
当y=0时，整理得x²+x-6=0，
解得：x₁=2，x₂=-3，
∴点B（2，0）．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴$\frac{\frac{1}{2}•AP•BD}{\frac{1}{2}•PC•BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3 $\sqrt{5}$，
当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，
∵PH∥OC，
∴$\frac{PH}{OC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{4}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$=2x+6，
∴x=-$\frac{9}{4}$，
∴点P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）
当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
x=-$\frac{9}{2}$，
∴点P（-$\frac{9}{2}$，-3）．

（3）①存在a的值，使得∠MON=90°，
设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧）
则 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={x}_{M}}\\{{y}_{1}={y}_{M}}\end{array}\right.$为方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+a}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$的解
分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．
∴M′（x_M，0），N′（x_N，0），
∴OM′=-x_MON′=x_N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，
∴$\frac{MM′}{ON′}$=$\frac{OM′}{NN′}$，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x_M•x_N=y_M•y_N，
由方程组消去y整理，得：x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0．
∴x_M、x_N是方程x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0的两个根，
由根与系数关系得，x_M+x_N=-$\frac{3}{2}$，x_M•x_N=a-6
又∵y_M•y_N=（ $\frac{1}{2}$x_M+a）（ $\frac{1}{2}$x_N+a）=$\frac{1}{4}$x_M•x_N+$\frac{a}{2}$（x_M+x_N）+a²=$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²
∴-（a-6）=$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²，
整理，得2a²+a-15=0
解得a₁=-3，a₂=$\frac{5}{2}$，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=$\frac{5}{2}$．
②由①可知，当∠MON＞90°时，a的取值范围为-3＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评本题考查待定系数法求二次函数解析式、图形面积的计算方法、三角形相似、函数图象交点、一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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18．阅读理解如图①，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n+1折叠，点B_n与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的“好角”．
小明展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．

情形一：如图②，沿等腰△ABC顶角∠BAC的平分线AB₁折叠，点B与点C重合．
情形二：如图③，沿△ABC顶角∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，此时点B₁与点C重合．
探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，问∠BAC是△ABC的好角（填写“是”或“不是”）；
（2）小明经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（假设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=3∠C；
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（假设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
（3）小明找到一个三角形，三个内角分别为15°、60°、105°，发现60°，105°是此三角形的好角；
（4）如果一个三角形的最小角是10°，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为10°，160°．

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19．已知一个多项式与3x²+9x的和等于3x²+4x-1，则这个多项式是（　　）

A．

13x-1

B．

6x²+13x-1

C．

5x+1

D．

-5x-1

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