Question

【题目】将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，

如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；

当且时，

①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．

【解析】

（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；

（2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；

②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可．

（1）由题知°，°，

∴°，且为等边三角形

∴°，

∴

∵

∴°

∴°

∴为等腰直角三角形

连接BD，如图所示

∵°

∴即

∵

∴

∴

故答案为：等腰直角三角形，

（2）①两个结论仍然成立

连接BD，如图所示：

∵，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵四边形为正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴结论不变，依然成立

②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论

第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，

如图所示：

此时点E与点A重合，

∴，得；

②当以CD为对角线时，如图所示：

此时点F为CD中点，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

综上：的值为3或1．