Question

如图所示的抛物线是把y=-x²经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P；
①当∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在时的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线由y=-x²平移得到，
∴设y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵抛物线过（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a²
∵P是抛物线顶点，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM==OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知抛物线的顶点P（1，1），解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴抛物线对应的二次函数在时，当x=时，y_最大=-+2×=；
当x=-时，y_最小=-2×=-．
分析：（1）因为抛物线由y=-x²平移得到，所以设y=-（x-a）²+b（a＞0），再把（0，0）代入可得到b=a²，故y=-（x-a）²+a²，过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a²，再根据P是抛物线顶点可知PO=PA，故可得出OM=AM，PM==OM，由此可得出a的值，进而得出其抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的顶点坐标与解析式可知，抛物线对应的二次函数在时，当x=时，y有最大值；当x=-时y有最小值．
点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．