Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l₁∥l₂∥l₃，l₁与l₂之间距离是1，l₂与l₃之间距离是2，且l₁，l₂，l₃分别经过点A，B，C，则边AC的长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．

解答 解：如图，过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如图．
∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$．
∵直线l₁∥l₂∥l₃，
∴EF⊥l₁，EF⊥l₃，
∴∠AEB=∠BFC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB=90°-∠ABE=∠FBC，
∴△BFC∽△AEB，
∴$\frac{FC}{EB}$=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$．
∵EB=1，∴FC=$\sqrt{3}$．
在Rt△BFC中，
BC=$\sqrt{B{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
在Rt△ABC中，sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AC=$\frac{2BC}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键．