Question

如图，抛物线y=

1

3

x²-x-6交x轴于A、C两点，交y轴于点B；将抛物线y=

1

3

x²-x-6向上平移

23

4

个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线；若新抛物线的顶点P在△ABC内，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、BC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．

解答：解：∵y=

1

3

x²-x-6=

1

3

（x-

3

2

）²-

27

4

，
∴由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=

1

3

（x-

3

2

+m）²-

27

4

+

23

4

=

1

3

（x-

3

2

+m）²-1，
它的顶点坐标P：（

3

2

-m，-1）；
由y=

1

3

x²-x-6可得：A（-3，0），C（6，0），B（0，-6）．
设直线AB的解析式为y=kx-6（k≠0），把x=-3，y=0代入，得
-3k-6=0，b=-2，
∴y=-2x-6．
同理直线BC：y=x-6；
当点P在直线AB上时，-2（

3

2

-m）-6=-1，解得：m=4；
当点P在直线BC上时，（

3

2

-m）-6=-1，解得：m=-

7

2

；
∴当点P在△ABC内时，-

7

2

＜m＜4；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜4．
故答案是：0＜m＜4．

点评：考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．